Two Important Inequalities on Finsler Manifolds

给定一个n维C^∞流形M，F是流形M上的芬斯勒度量，记F的Busemaun-Hausdorff体积形式为

其中体积系数σ(x)定义为^[10]

这里，Vol表示欧氏体积，Bⁿ(1)表示$\mathbb{R}^n $上的标准单位球. (M，F，m)的S-曲率可以表示成

其中Gⁱ是F的测地系数.

文献[3]定义了芬斯勒流形上的加权Ricci曲率. 具体地，给定一个测度为m的n维芬斯勒流形(M，F，m)和切向量$\boldsymbol{v} \in T_x M \backslash\{0\}$. 令$\eta:(-\varepsilon, \varepsilon) \longrightarrow M $是满足$\dot{\eta}(0)=\boldsymbol{v} $的测地线，并且测度m对应的体积形式沿着测地线η分解成

其中$\psi_\eta=\psi_\eta(\eta(t), \dot{\eta}(t)):(-\varepsilon, \varepsilon) \longrightarrow M $为一个C^∞函数. 对任意的N∈(n，∞)，加权Ricci曲率定义为

当N→∞和N↓n时，可定义如下的加权Ricci曲率：

事实上，容易得到$\psi_\eta^{\prime}(0)=S(x, \boldsymbol{v}) $就是芬斯勒几何中关于测度m的S-曲率，且

其中“|”表示关于Chern联络的水平协变导数^[11]. 因此，可以进一步把Ric_N(v)写成^[12]

一般地，若对任意的x∈M和切向量v∈T_xM，总有Ric_N(v)≥KF²(x，v)(这里K为实常数)，则Ric_N≥K.

给定流形M上的一个光滑函数u，则u在M上任意点x处的微分为$\mathrm{d} u_x=\frac{\partial u}{\partial x^i}(x) \mathrm{d} x^i $. 我们可以通过Legendre变换定义函数u在点x处的梯度向量^[13]为

因此，在局部坐标下，$\nabla u $可以写成^[12]

其中

$g^{* i j}(x, \mathrm{~d} u) $为F的对偶芬斯勒度量F^*的基本张量，且

给定流形M上的一个光滑测度m，对应的体积形式为

设$\boldsymbol{X}=\sum\limits_{i=1}^n \boldsymbol{X}^i \frac{\partial}{\partial x^i} $是M上的一个向量场. 定义向量场X关于光滑测度m的散度为

对任意的$\phi \in C_c^{\infty}(M) $，可以通过散度公式

定义弱意义下的散度div_m(X)，其中C_c^∞(M)表示M上具有紧致支集的光滑函数构成的空间.

对函数$u \in H_{\mathrm{loc}}^1(M) $，定义函数u在芬斯勒流形上的Laplacian为

等价地，我们在弱的意义下定义函数u的Laplacian为满足以下条件的Δu：对所有的$\phi \in C_c^{\infty}(M) $，

由Laplacian及散度定义，对流形M上任意的光滑函数φ，有

令$\boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}^i \frac{\partial}{\partial x^i} $是流形M上的非零向量场，对任意的切向量X，Y∈T_xM，定义流形M上的加权黎曼度量g_V为^[14]

特别地，$g_{\boldsymbol{V}}(\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V})=F^2(x, \boldsymbol{V}) $. 在加权黎曼流形(M，g_V，m)上，可定义线性梯度向量场与线性Laplacian分别为

由(8)式可以得到，对任意的$u \in H_{\mathrm{loc}}^1(M) $，有$\nabla^{\nabla u} u=\nabla u \text { 和 } \Delta^{\nabla u} u=\Delta u $.

在H₀¹(M)上的能量泛函E被定义为^[9]

对函数$u, \varphi \in H_0^1 $，有

因此，对任意$u, \varphi \in H_0^1 $，若$\int_M u^2 \mathrm{~d} m=1 $，则

其中$\lambda=E(u) $. 根据Laplacian弱定义，上式等价于

因此，函数$u \in H_0^1 $满足d_uE=0当且仅当

我们分别称λ和u是(M，F，m)的一个特征值和特征函数.

接下来介绍非线性热方程

对每一个初值$f \in H_0^1(M) $并且T>0，存在唯一的满足u₀=f的热方程的整体解$u=\left(u_t\right)_{t \in[0, T]} $. 如果(M，F，m)的可反数Λ_F < ∞且具有有限体积，通过构建热流^[15-16]作为能量泛函E的梯度流，可证明以下两条性质成立^[9]：

(i) 若c≤u₀≤C几乎处处成立，则当t>0时，c≤u_t≤C几乎处处成立；

(ii) $\lim _{t \rightarrow \infty} E\left(u_t\right)=0 $.

本文中，我们总假定Λ_F < ∞.

设(M，F，m)是测度可测的芬斯勒流形. 为了证明定理1，我们需要一些必要的引理.

引理1^[9]  若(M，F，m)满足m(M) < ∞且流形是完备的，则常值函数$1 \in H_0^1(M) $.

引理2^[4]  给定$u \in C^{\infty}(M) $，则在$M_u=\{x \in M \mid \mathrm{d} u \neq 0\} $上，有

当Ric_∞≥K时，有

其中$\|\bullet\| H S(\nabla u) $表示关于度量$g_{\nabla u} $的Hilbert-Schmidt范数，$ \nabla u$表示u的梯度向量场，Δu表示u的Laplacian.

推论1^[4]  假若对某个$K \in \mathbb{R} $，有Ric_∞≥K. 给定$ u \in H_{\mathrm{loc}}^2(M) \cap C^1(M)$使得$ \Delta u \in H_{\mathrm{loc}}^1(M)$，那么，对所有的非负函数$ \phi \in H_c^1(M) \cap L^{\infty}(M)$，总有

根据引理2及(4)，(5)式，可以得到以下结果：

命题1  给定$ u \in C^{\infty}(M) \text { 及 } N \in(n, \infty)$，则在$ M_u=\{x \in M \mid \mathrm{d} u \neq 0\}$上有

及

易见，(11)式比文献[4]中相应的不等式更优. 进一步，类似于文献[4]的讨论，我们可以用同样的方法得到下面的积分型不等式：

推论2  设(M，F，m)是一个可测的紧致无边芬斯勒流形. 若流形M满足Ric_N≥K，其中N∈(n，∞)且$ K \in \mathbb{R}$. 给定$u \in H^2(M) \cap C^1(M) $使得$\Delta u \in H^1(M) $，则对所有的非负函数$\phi \in H_c^1(M) \cap L^{\infty}(M) $，我们有

这里，我们用到了

根据引理1，取测试函数$\phi=1 $，可以得到以下引理：

引理3   若(M，F，m)是紧致无边的芬斯勒流形，且满足Ric_N≥K，其中N∈(n，∞)且$K \in \mathbb{R} $. 给定$ u \in H^2(M) \cap C^1(M)$，使得$ \Delta u \in H^1(M)$，则有

由于(M，F，m)是紧致的芬斯勒流形，我们可以将m标准化使得m(M)=1. 定义f∈L²(M)的方差为

此外，(u_t)_t≥0是满足u₀=f的热方程$\partial_t u_t=\Delta u_t $的整体解，则对任何$f \in H^1(M) $，根据线性化热半群的性质，在L²(M)中有质量守恒^[4]

和遍历性^[6]

引理4^[4]  设(u_t)_t≥0是热方程的整体解. 则对所有t>0，有

几乎处处成立.

定理1的证明   设(u_t)_t≥0是满足u₀=f的热方程的整体解. 令

那么根据遍历性可得

且

根据Φ(t)的定义，我们知道

由引理4，对t>0，我们有

由定义，$S(\nabla u)^2 \geqslant \omega^2 F^2(\nabla u) $. 根据引理3，有

从而有

最后，

其中

由(15)式得

此外，我们知道$\lim _{t \rightarrow \infty} E\left(u_t\right)=0 $，所以$ \lim _{t \rightarrow \infty} \mathit{\Phi}^{\prime}(t)=0$. 因此

这就完成了定理1的证明.

作为引理3的应用，定理2的结果是自然的.

定理2的证明  通过假设和引理3，我们得到

因为$\Delta u=-\lambda u $，我们有

进一步，有

这表明

从而，我们有

因此，由(2)式我们得到

这就完成了定理2的证明.

定理1和定理2分别改进了文献[5, 9]中的两个不等式. 特别地，当S-曲率满足$ \omega^2 \geqslant \frac{K(N-n)}{N-1}$时，我们给出了具有更优上界的Poincare-Lichnerowicz不等式及第一特征值的更优的下界.