定义1^[15]   函数Q：[a，b]×[a，b]→ℝⁿ在区间[a，b]上Kurzweil可积是指：存在I∈ℝⁿ，使得对任意的ε＞0，存在正值函数δ：[a，b]→(0，+∞)，且对[a，b]上的任何δ(τ)-精细分划D={(τ_i，[α_i-1，α_i])}_i=1ⁿ，有

其中τ_i∈[α_i-1，α_i]⊂[τ_i-δ(τ_i)，τ_i+δ(τ_i)].称I∈ℝⁿ为Q在[a，b]上的Kurzweil积分，记作$I = \int_a^b {\rm{D}} Q(\tau , t)$.特别地，当Q(τ，t)=f(τ)g(t)时，

设E：Ω→ℝⁿ，Ω=O×[t₀，+∞).

定义2^[15]  函数x：[α，β]→ℝⁿ为广义常微分方程

在区间[α，β]⊂[t₀，+∞)上的解是指：对每个γ，v∈[α，β]，(x(t)，t)∈Ω，t∈[α，β]，有

设集合O=B_c={x∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)：‖x‖≤c，c＞0}具有延拓性质，且

引入概念[·，·，·]，其中对于a≤c，有：[a，b，c]=b，b∈[a，c]；[a，b，c]=a，b≤a；[a，b，c]=c，b≥c.对于每个y∈B_c，t∈[t₀，+∞)，ϑ∈[t₀-r，+∞)，定义函数

设函数F：B_c×[t₀，+∞)→G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)定义为

其中y∈B_c，t∈[t₀，+∞)，ϑ∈[t₀-r，+∞).假设函数f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅)，则由文献[15]的定义3.8，对于s₁，s₂∈[t₀，+∞)，x，y∈B_c，有

及

其中不减函数h：[t₀，+∞)→ℝ定义为

其中$\tilde z$ ∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ).显然函数F∈ $\mathfrak{J}$ (Ω，h)，其中F由(6)式给出，Ω=B_c×[t₀，+∞).

设E_ρ={y∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)：‖y‖≤ρ}及B_ρ={x∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)：‖x‖≤ρ}，0＜ρ＜c.

假设测度中立型泛函微分方程(1)中的函数f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ使得f(0，t)=0，t∈[t₀，+∞)，则y≡0是测度中立型泛函微分方程(1)在[t₀-r，+∞)上的解.

定义3  设y≡0是测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解，

(ⅰ)若对任意的t₀≥0，ε＞0，存在δ=δ(ε，t₀)＞0，使得对φ∈P及测度中立型泛函微分方程(4)在[t₀-r，v]上的解y：[t₀-r，v]→ℝⁿ，有y_t0=φ且‖φ‖＜δ，则‖y_t(t₀，φ)‖＜ε，t∈[t₀，v]，则y是稳定的；

(ⅱ)若(ⅰ)中的数δ关于t₀是独立的，则y是一致稳定的；

(ⅲ)若存在δ₀＞0，对每个ε＞0，存在T=T(ε)≥0，使得对φ∈P及测度中立型泛函微分方程(4)在[t₀-r，v]上的解y：[t₀-r，v]→ℝⁿ，有y_t0=φ且‖φ‖＜δ₀，则‖y_t(t₀，φ)‖＜ε，t∈[t₀，v]∩[t₀+T，+∞)，则y是一致渐近稳定的.

给定t≥t₀和函数ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)，方程(4)的初值条件为y_t=ψ.由文献[14]的定理5.2，存在唯一解y：[t-r，v]→ℝⁿ，[t-r，v]⊂[t-r，+∞).则由文献[14]的定理4.4，可以找到广义常微分方程

关于初值条件x(t)=$\tilde x$的解x：[t，v]→G^-([t，v]，ℝⁿ)，其中F：B_c×[t₀，+∞)→G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)由(6)式给出，且

则x(t)(t+θ)=y(t+θ)，θ∈[-r，0]，即(x(t))_t=y_t.因此对每个η≥0，y_t+η=y_t+η(t，ψ)，则泛函U：[t₀，+∞)×G^-([-r，0]，ℝⁿ)→ℝ的右导数定义为

由(9)式，存在广义常微分方程(8)的唯一解x：[t，v]→G^-([t，v]，ℝⁿ)，使得x(t)= $\tilde x$，[t，v]⊂[t₀，+∞).由文献[14]的定理4.5，存在测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，v]→ℝⁿ，满足y_t=ψ，在这种情况下，用x_ψ(t)替换x(t)，有y_t(t，ψ)=(x_ψ(t))_t=ψ.则(t，x_ψ(t))→(t，y_t(t，ψ))是一一对应映射，并且可以定义泛函V：[t₀，+∞)×G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)→ℝ为

则有

注1   给定t≥t₀，由

则有‖y_t(t，ψ)‖=‖x_ψ(t)‖.

引理1  考虑测度中立型泛函微分方程(4)，其中g：[t₀，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅).假设U：[t₀，+∞)×E_ρ→ℝ满足以下条件：

(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t₀，+∞)；

(ⅱ)存在常数K＞0，使得|U(t，ψ)-U(t，ψ)|≤K‖ψ-ψ‖，t∈[t₀，+∞)，ψ，ψ∈E_ρ.则函数V：[t₀，+∞)×B_ρ→ℝ由(10)式给定，满足条件：

(ⅲ) V(t，0)=0，t∈[t₀，+∞)；

(ⅳ)对于常数K＞0，有|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖，t∈[t₀，+∞)，z，z∈B_ρ.

证  给定t≥t₀，ψ，ψ∈E_ρ.设$y, \bar{y}, \hat{y}:[t-r, +\infty )\to {{\mathbb{R}}^{n}}$是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得${y_t} = \psi , {\bar y_t} = \bar \psi , {\hat y_t} = 0$.设$x, \bar x, \hat x$是广义常微分方程(8)在[t，+∞)上关于$y, \bar y, \hat y$的解，则

由注1，${x_\psi }(t), {x_{\bar \psi }}(t) \in {\bar B_\rho }$.设$V:\left[ {{t}_{0}}, +\infty \right)\times {{\bar{B}}_{\rho }}\to \mathbb{R}$由(10)式给出.由于对所有ϑ∈[t₀-r，+∞)，有$\hat x\left( t \right)\left( \vartheta \right) = 0$，即$\hat{x}(t)\equiv 0$，由条件(ⅰ)，有$0=U(t, 0)=U\left( t, {{{\hat{y}}}_{t}}(t, 0) \right)=V(t, \hat{x}(t))=V(t, 0)$.由条件(ⅱ)，有

则由注1，有

显然，对于t≥t₀，z，z∈B_ρ，存在广义常微分方程(8)的解x，x，并且ψ，ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)，使得

由注1，有

则由(12)式，有|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖.

定理1  设g：[t₀，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅).假设函数U：[t₀，+∞)×E_ρ→ℝ在(t₀，+∞)上是左连续的，且满足以下条件：

(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t₀，+∞)；

(ⅱ)存在常数K＞0使得|U(t，ψ)-U(t，ψ)|≤K‖ψ-ψ‖，t∈[t₀，+∞)，ψ，ψ∈E_ρ；

(ⅲ)存在Hahn class函数b：ℝ₊→ℝ₊，使得对所有t≥t₀及ψ∈E_ρ，有U(t，ψ)≥b(‖ψ‖)；

(ⅳ)对每个t≥t₀，ψ∈E_ρ，不等式D⁺U(t，ψ)≤0成立.

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.

证  由于函数f满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ满足条件(H₄)，(H₅)，则方程(8)中的函数F∈ $\mathfrak{J}$ (Ω，h)，其中F由(6)式给定，Ω=B_c×[t₀，+∞)，且不减函数h：[t₀，+∞)→ℝ由(7)式给出.

设V：[t₀，+∞)×B_ρ→ℝ由(10)式给定，由引理1，有V(t，0)=0，t∈[t₀，+∞)，及|V(t，z)-V(t，z)|≤K‖z-z‖，t∈[t₀，+∞)，z，z∈B_ρ.由注1及条件(ⅲ)，对于给定的t≥t₀，有

测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，+∞)→ℝⁿ满足y_t=ψ，则由引理1，有V(t，z)≥b(‖z‖)，z∈B_ρ.

由条件(ⅳ)及文献[16]的定理1，则广义常微分方程(8)的平凡解x≡0是变差稳定的.则由文献[16]的定义1，对于每个ε＞0，存在δ=δ(ε)＞0，使得若x：[γ，v]→B_c，t₀≤γ＜v＜+∞在[γ，v]上是有界变差函数，并且$\left\| {\bar x(\gamma )} \right\| < \delta {\rm{及}}{\mathop{\rm var}} _\gamma ^v\left( {\bar x(s) - \int_\gamma ^s {{\rm{D}}}F (\bar x(\tau ), t)} \right) < \delta $，则

设φ∈P，y：[t₀-r，+∞)→ℝⁿ是测度中立型泛函微分方程(4)的关于初值条件y_t0=φ的解，假设

下面证明

令y_t=y_t(t₀，φ)，并且定义

由文献[14]的定理4.4，x(t)是广义常微分方程(8)在[t₀，+∞)上的解，满足初值条件x(t₀)= $\tilde x$，其中

并且x(t)在[t₀，+∞)上是有界变差的.

由(14)，(17)式，有

由(13)式，对所有t∈[t₀，v]，有‖x(t)‖＜ε，其中v∈(t₀，+∞).特别地，有‖x(v)‖＜ε.则由(16)式，对任意的t∈[t₀，v]，有

则(15)式成立，即测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.

定理2   设g：[t₀，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅).假设函数U：[t₀，+∞)×E_ρ→ℝ满足定理1中的条件(ⅰ)-(ⅲ)，并且假设存在连续函数Λ：ℝ₊→ℝ₊满足Λ(0)=0及Λ(x)＞0，x≠0，使得对每个ψ∈E_ρ，有

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.

证  假设V：[t₀，+∞)×B_ρ→ℝ由(10)式给出，则文献[16]中定理1的所有条件成立.设函数Φ：B_ρ→ℝ被定义为Φ(z)=Λ(‖z‖)，z∈B_ρ，则Φ是连续的，且Φ(0)=0及Φ(z)＞0，z≠0.

假设x：[t，+∞)→B_ρ是广义常微分方程(8)的解，使得(x(t))_t=ψ，其中t∈[t₀，+∞)，ψ∈E_ρ，并且假设y：[t-r，+∞)→ℝⁿ是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得y_t=ψ.由(19)式，有

又由于‖y_t‖=‖x_ψ(t)‖，则由注1，有

并且文献[16]中定理2的条件成立，则广义常微分方程(8)的平凡解x≡0是变差渐近稳定的.由文献[16]的定义1、定义2、定义3，存在δ₀＞0，并且对每个ε＞0，存在T=T(ε)≥0及ζ=ζ(ε)＞0，使得若x：[γ，v]→B_c，其中t₀≤γ＜v＜+∞在[γ，v]上是有界变差函数并且‖x(γ)‖＜δ₀，及

则

给定ε＞0，设δ₀＞0及T=T(ε)，设φ∈P，并且y：[t₀-r，+∞)→ℝⁿ是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得y_t0=φ.假设

下面证明

由(21)式，有

由(20)式，定理1证明中的(18)式成立，即(22)式成立.则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.

下面考虑Lyapunov泛函U：[t₀-r，+∞)×ℝⁿ→ℝ，并且建立测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解的新稳定性.利用测度中立型泛函微分方程(4)的解定义U的导数为

其中y(s，t，ψ)是测度中立型泛函微分方程(4)的解，满足y_t=ψ，ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ).给出一个初值函数ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)且t≥t₀，由文献[14]的定理5.2，存在测度中立型泛函微分方程(4)的唯一解满足y_t=ψ，y(t)=ψ(0)，则D⁺U(t，y(t))可以改写为D⁺U(t，ψ(0)).

定理3   设g：[t₀，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅).假设函数U：[t₀-r，+∞)×ℝⁿ→ℝ在(t₀-r，+∞)上是左连续的，极限

存在，且满足U(t^-，y(t^-))=U(t，y(t))，其中y∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ).假设U满足以下条件：

(ⅰ) U(t，0)=0，t∈[t₀-r，+∞)；

(ⅱ)对每个a＞0，存在常数K_a＞0，使得

其中B_a={z∈ℝⁿ：‖z‖＜a}；

(ⅲ)存在Hahn class函数b：ℝ₊→ℝ₊，使得对任意的y∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ)，t∈[t₀，+∞)，有U(t，y(t))≥b(‖y_t‖)；

(ⅳ)存在函数Λ：ℝ₊→ℝ₊，使得对t∈[t₀，+∞)，θ∈[-r，0]，ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)，若U(t+θ，ψ(θ))≤U(t，ψ(0))，有D⁺U(t，ψ(0))≤-Λ(|ψ(0)|).

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.

证  对于s≥t₀及ξ∈E_ρ，定义

显然对所有s≥t₀，有U(s，0)=0.

给定t≥t₀，ψ∈E_ρ，考虑测度中立型泛函微分方程(4)的解y：[t-r，+∞)→ℝⁿ，使得y_t=ψ.由文献[15]的引理3.10，广义常微分方程(8)的解x是左连续的，并且由文献[14]的定理4.5可知y也是左连续的，则函数U(s，y(s))(s∈[t₀-r，+∞))是左连续的.由(23)式，有

下面证明D⁺U(t，ψ)=D⁺U(t，y_t)≤0.设S(t)={U(t+θ，y(t+θ))：θ∈[-r，0]}.

考虑以下两种情况：

情形1  假设U(t，y_t)属于S(t)，则存在θ₀∈[-r，0]，使得

若θ₀=0，则U(t，y_t)=U(t，y(t))，由条件(ⅳ)表明D⁺U(t，y_t)≤0.若θ₀＜0，由(24)式及θ₀的取值，对所有θ₀＜θ≤0，有

则对所有足够小的q＞0且q＜|θ₀|，有

并且D⁺U(t，y_t)=0.

情形2  假设U(t，y_t)不属于S(t)，则有U(t，y_t)＞U(t+θ，y(t+θ))，θ∈[-r，0]，并且在[-r，0]上存在收敛数列{θ_n}_n∈N，${{\left\{ {{\theta }_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}$, $\bar \theta = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\theta _n} $，使得

假设存在可数多个θ_nk使得θ_nk＜θ，则

则U(t，y_t)∈S(t)，这与U(t，y_t)不属于S(t)矛盾，也表明了θ＜0.则对所有n，假设θ＜θ_n＜0，有

则对所有足够小的q＞0且q＜|θ|，有

因此D⁺U(t，y_t)=0.

下面证明U满足定理1中的条件(ⅱ).对于$t \ge {t_0}, \hat \psi , \bar \psi \in {\bar E_\rho }, {\rm{及}}\hat y, \bar y$是测度中立型泛函微分方程(4)的解，使得${\hat y_t} = \hat \psi , {\bar y_t} = \bar \psi $，则

或

及

或

其中函数$\hat \psi , \bar \psi \in {\bar E_\rho }, {\theta _{\hat \psi }}, {\theta _{\bar \psi }}{\rm{及}}{\bar \theta _{\hat \psi }}, {\bar \theta _{\bar \psi }}$分别对应于θ₀，θ.

考虑${{\bar{B}}_{\rho }}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\|x\|<\rho \right\}\text{ }$及${{B}_{c}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\|x\|<c \right\},\rho <c$.由于$U\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\hat \psi }}} \right)}^ + }.\hat y\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\hat \psi }}} \right)}^ + }} \right)} \right), U\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\bar \psi }}} \right)}^ + }, \bar y\left( {{{\left( {t + {{\bar \theta }_{\bar \psi }}} \right)}^ + }} \right)} \right)$存在，条件(ⅱ)表明对所有$\theta \in [ - r, 0], {\bar B_\rho } \subset {B_c}, \hat y(t + \theta ), \bar y(t + \theta ) \in {\bar B_\rho }$，有

另外，有

则U满足定理1中的所有条件，即测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.

定理4   设g：[t₀，+∞)→ℝ是不减函数，f：P×[t₀，+∞)→ℝⁿ满足条件(H₁)，(H₂)，(H₃)，正规化函数μ：ℝ×ℝ→ℝ^n×n满足条件(H₄)，(H₅).假设函数U：[t₀-r，+∞)×ℝⁿ→ℝ在(t₀-r，+∞)上是左连续的，极限

存在，且满足U(t^-，y(t^-))=U(t，y(t))，其中y∈G^-([t₀-r，+∞)，ℝⁿ).假设U满足定理3中的条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，并且存在Hahn class函数d：ℝ₊→ℝ₊，使得对测度中立型泛函微分方程(4)的每个解y，有

其中s≥t₀，且对每个t≥0，有d(t)≥b(t)，其中b由定理3中的条件(ⅲ)给出.另外，假设存在函数Λ：ℝ₊→ℝ₊满足Λ(0)=0及Λ(x)＞0，x≠0，并且存在连续不减函数p(s)＞s，s＞0，使得对θ∈[-r，0]，t∈[t₀，+∞)，ψ∈G^-([-r，0]，ℝⁿ)，若U(t+θ，ψ(θ))＜p(U(t，ψ(0)))，有

则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.

证  对于s≥t₀，ξ∈E_ρ，定义

则由定理3的证明，方程(4)的平凡解y≡0是一致稳定的.

设t₀≥0，φ∈P，假设y：[t₀-r，+∞)→ℝⁿ是测度中立型泛函微分方程(4)的解，满足y_t0=φ，记解y(t)=y(t，t₀，φ).对于t≥t₀，设y_t=y_t(t₀，φ)，并且设ε＞0.由于方程(4)的解y≡0是一致稳定的，即存在δ＞0，使得若‖φ‖＜δ，则‖y_t(t₀，φ)‖＜ε.则对每个t∈[t₀，+∞)，有

其中d是增函数.

假设0＜η≤ε是任意的，需证明存在数T=T(ε，η)＞0，使得‖φ‖＜δ，则对所有t∈[t₀+T，+∞)，有‖y_t‖≤η.事实上，只需证明对所有t∈[t₀+T，+∞)，有U(t，y(t))≤b(η)，其中b由定理3的条件(ⅲ)给定.

首先，找出数T.由函数p(s)的性质，存在数α＞0，使得对b(η)≤s≤d(ε)，有p(s)-s≥α(注意b(η)≤b(ε)≤d(ε)).设是正整数，使得，由于b(η)≤d(ε)，有d^-(b(η))≤ε，设

并且定义.下面证明对所有$t \in \left[ {{t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }, + \infty } \right)$，有U(t，y(t))≤b(η).需证明对所有$t \in \left[ {{t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }, + \infty } \right)$，有

假设

由的选择及(28)式，有

并且有

其中${t_0} \le t \le {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\beta }, \theta \in [ - r, 0]$.由(28)，(29)式，有

即

则由(26)式，有

则

并且U(t₁，y(t₁))＜0，其中${t_1} = {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$，这与U是正数矛盾.则

注意，当时，由(26)式及，有D⁺U(t，y(t))≤0，则对于θ∈[-r，0]，有

假设存在$\bar t > {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$，使得

则D⁺U(t，y(t))＞0，与D⁺U(t，y(t))≤0矛盾.则对任意的$t > {t_0} + \frac{{d(\varepsilon )}}{\eta }$，有

设，并且假设对一些正整数N≥1及t满足t_n-1≤t-t₀≤t_n，有

运用前面的证明方法，有

及

则当t=t₀+t_n-1时有U(t，y(t))＜0.类似地，也能证明当t≥t₀+t_n-1时有当时，对所有.有U(t, y(t))≤b(η).最后，由于b(‖y(t)‖)≤U(t，y(t))≤b(η)，并且b是增函数，则对所有，有‖y_t‖≤η.则测度中立型泛函微分方程(4)的平凡解y≡0是一致渐近稳定的.