设G为有限群，用cs(G)表示G的所有共轭类长度的集合，cd(G)表示G的所有不可约特征标维数的集合，c(G)表示G的幂零类长，文中其他符号都是标准的，可参看文献[1-2].

在群论中，共轭类的长度以及共轭类长度的集合cs(G)的长度对研究有限群的结构十分有帮助. 文献[3]确定了所有互不同构的2³p阶群的共轭类个数. 文献[4]确定了非循环子群的共轭类个数为7的有限p-群的所有结构. 文献[5]给出了|cs(G)|=2，3时G的一些性质，以及|cs(G)|=4，5，6时群的一些初等结果. 文献[6]还研究了满足|cs(G)|=3的有限群G的详细结构和性质.

有限群的不可约特征标的维数对研究其结构也有着重要的作用. 文献[7]证明了|cd(G)|≤3的群是可解的，并且导长至多是3. 文献[8]得到了：若对G的任意一个非线性不可约特征标χ，都满足|G/ker χ|≤ p_mχ(1)²，则G非单. 文献[9]确定了满足cd(G)=cs(G)={1，p^m}的有限p-群的幂零类长至多是2，并且留下了一个猜测：设G是有限p-群，且cd(G)=cs(G)={1，p^n₁，p^n₂，…，p^n_s}，其中1≤p^n₁≤p^n₂≤…≤p^n_s，能否确定c(G)的上界?

本文在文献[6]的基础上，研究了满足|cs(G)|=|cd(G)|=3的有限群G的结构和性质.

定义 1  设群G是有限群，其中H⊴G，K≤G，H∩K=1且G=H⋊K. 若K的非单位元无不动点地正规作用在H上，则称G为Frobenius群，H为Frobenius核，K为Frobenius补.

引理 1^[6]  设G是有限群，|cs(G)|=3，则G是下列群H之一与交换群的直积：

(A) |cs(H)|=3的p-群；

(B) H=KL，K⊴ H，(|K|，|L|)=1，且满足下列条件之一：

(B1) K，L都是交换群，Z(H)≤L且H/Z(H)是Frobenius群；

(B2) K是交换群，L是非交换p-群，O_p(H)≤L且O_p(H)是交换群，H/O_p(H)是Frobenius群；

(B3) K是非交换p-群且cs(K)=2，L是交换群，Z(K)=Z(H)∩K，H/Z(H)是Frobenius群.

引理 2  设G是有限p-群，G=〈x〉·A，A⊴ G且A是交换群，则C_G(x) < C_G(x^p).

证  显然C_G(x)≤C_G(x^p)，取a∈A-Z(G)，使得[a，x]∈Z(G)，[a，x]^p=1. 由[a，x]∈Z(G)，有[a，x]x^-1=x^-1[a，x]，进而可得[a，x^p]=1，所以a∈C_G(x^p)-C_G(x). 故C_G(x) < C_G(x^p).

定理 1  设G为有限群，且|cs(G)|=|cd(G)|=3，则G是满足引理1中(A)或(B3)的群H和交换群的直积.

证  对引理1中的(B1)，令A=K×Z(H)，∀χ∈Irr(H)，有

设χ∈Irr₁(H)=Irr(H)-Lin(H)，则${\chi _K} = e\sum\limits_{i = 1}^t {{\lambda ^{{h_i}}}} $，t=|L∶Z(H)|，于是λ^H∈Irr(H). 因为[χ_K，λ]=[χ，λ^H]=e>0，且e是整数，所以χ(1)=$e\sum\limits_{i = 1}^t {{\lambda ^{{h_i}}}} \left( 1 \right) \ge t$. 又因χ(1)|t，故χ(1)=t. 所以cd(H)={1，|L/Z(H)|}.

对引理1中的(B2)，若L/O_p(H)交换，则L/O_p(H)循环，因此L=〈x〉·O_p(H)，x∈L，且|〈x〉|>p. 否则cd(H)={1，p}，所以存在x^p∈L-O_p(H). 因为G/O_p(H)是Frobenius群，所以C_H(x)≤C_H(x^p)≤L. 于是由引理2，C_H(x) < C_H(x^p)，即|cl(x)|≠|cl(x^p)|. 因此对∀b∈K，|cl(1)|，|cl(b)|，|cl(x)|，|cl(x^p)|互不相等. 于是|cs(H)|≥4，与|cs(H)|=3矛盾.

若L/O_p(H)非交换，则L/O_p(H)≅Q_2ⁿ⁺¹(n≥2). 于是L/O_p(H)={〈xO_p(H)，yO_p(H)〉：x⁴O_p(H)=y²ⁿO_p(H)=1·O_p(H)，x²O_p(H)=y^2n-1O_p(H)}且C_H(x)≤C_H(x²)≤L，C_H(y)≤C_H(y²)≤L.

若O_p(H)≰Z(L)，则〈x，O_p(H)〉，〈y，O_p(H)〉中至少有一个为非交换p-群，于是由引理2，有C_H(x) < C_H(x²)≤L或C_H(y) < C_H(y²)≤L.∀b∈K，有|cl(1)|，|cl(b)|，|cl(x)|，|cl(x²)|互不相等，或|cl(1)|，|cl(b)|，|cl(y)|，|cl(y²)|互不相等. 于是有|cs(H)|≥4，与|cs(H)|=3矛盾.

若O_p(H)≤Z(L)，由广义四元数群的结构知〈yO_p(H)〉⊴ L/O_p(H)，因此〈y，O_p(H)〉⊴ L且〈y，O_p(H)〉是交换群，于是L=〈x，y，O_p(H)〉，故C_H(x) < C_H(x²)≤L. 同样可得|cs(H)|≥4，与|cs(H)|=3矛盾.

注 1  对引理1中的(A)和(B3)，这样的群是存在的，例如H={〈a〉⋊ | 〈b〉：a²⁷=b⁹=1，a^b=a⁴}，cs(H)=cd(H)={1，3，9}；H=SL(2，3)，cs(H)={1，4，6}，cd(H)={1，2，3}.

定理 2  设G=KL，|cs(G)|=|cd(G)|=3，K⊴ G，(|K|，|L|)=1，K是非交换p-群且|cs(K)|=2，L是交换群，Z(K)=Z(G)∩K，G/Z(G)是Frobenius群. 则c(K)=2.

证  先证明|cd(K)|=2. 若|cd(K)|=3，则存在1_G≠θ₁，θ₂，θ₃∈Irr(K)，不妨设θ₁(1)=1 < θ₂(1) < θ₃(1)，于是存在χ₂，χ₃ ∈Irr(G)，使得

即θ₂(1)|χ₂(1)，θ₃(1)|χ₃(1). 由于G/Z(G)K′也是Frobenius群，于是θ₁^G∈Irr(G)，且θ₁^G(1)=|G/Z(G)K′| | |L|，与|K|互素，因此有|cd(G)|≥4，与|cd(G)|=3矛盾. 故|cd(K)|=2.

由文献[10]，c(K)≤3，设c(K)=3，cd(K)={1，p^m}，|K′|=p^s，|K/K′|=p^r，

则K的非线性特征标的个数为$\frac{{{p^{r + s}} - {p^r}}}{{{p^{2m}}}} = {p^{r - 2m}}\left( {{p^s} - 1} \right)$. 由于(Z(K)∩K′) < K′，因此p^t₁ < p^s，显然也有p^t₁ < p^s-1. 取$\hat \chi $∈Irr₁(K/[K′，K])，于是$\hat \chi $ (1)=p^m. 因为c(K)=3，所以c(K/[K′，K])=2，因此

即K′≤Z(χ)，K/Z(χ)是交换群. 于是

又因为

所以p^t₂ < p^r-2m，进而有p^r-2m(p^s-1)>p^t₁+t₂=|Z(K)|. 因此由置换同构定理，K中有G-不变的不可约特征标，也有不是G-不变的不可约特征标，G-不变的不可约特征标一定可以扩张到G，由此可以得到|cd(G)|≥4，与|cd(G)|=3矛盾，故c(K)=2.