以R^n×n(C^n×n)表示实(复)矩阵集，N表示集合{1，2，…，n}.

如果矩阵A=(a_ij)的元素满足a_ij>0(i，j∈N)，则A是正矩阵，记A>0；如果满足a_ij≥0(i，j∈N)，则A是非负矩阵，记A≥0.

矩阵A的特征值模的最大值$\rho(\boldsymbol{A})=\max\limits _{1 \leqslant i \leqslant n}\left|\lambda_{i}\right|$称为A的谱半径，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的n个特征值.

设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈R^n×n. 用A$ \circ $B表示A和B的对应元素相乘的矩阵，称为A和B的Hadamard积，如果A≥0，B≥0，则A$ \circ $B≥0.

如果有置换矩阵P，使得

则称A可约，否则A不可约.

记

设A=αI－P，P≥0，$\alpha \in \mathbb{R}$，若α>ρ(P)，则A为非奇异M-矩阵，记为M_n；否则A是奇异的.

设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈R^n×n，A★B=(c_ij)定义为A与B的Fan积，其中

如果A，B∈M_n，则A★B∈M_n.

本文将用到以下记号：令A=(a_ij)，i，j，k∈N，j≠i，

引理1^[18]   设A=(a_ij)∈C^n×n，则A的特征值位于如下域中：

引理2^[18]   设A=(a_ij)∈C^n×n，则A的特征值位于如下域中：

定理1    设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈R^n×n，且A，B≥0，则

证    当n=1时，结论明显成立. 当n≥2时，分以下两种情况讨论：

情况1    若A$ \circ $B不可约. 则A和B也不可约. 依据引理1，当$i \in \mathbb{N}$时，有

由于ρ(A$ \circ $B)≥a_iib_ii，则

情况2    若A$ \circ $B可约. 则有满足ξ₁₂=ξ₂₃=…=ξ_n－1，n=ξ_n，1=1，且其余元素ξ_ij=0的置换阵D=(ξ_ij)，当正数ε充分小时，A+εD和B+εD非负不可约. 将A，B替换为A+εD，B+εD，同情况1的讨论，结论成立.

定理2   设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈R^n×n，且A，B≥0，则

证   当n=1时，结论明显成立. 当n≥2时，分以下两种情况讨论：

情况1    若A$ \circ $B不可约. 则A和B也不可约. 令ρ(A$ \circ $B)=λ，依据引理2，存在(i，j)，1≤i，j≤n，i≠j，有

由于ρ(A$ \circ $B)≥a_iib_ii，则

情况2    若A$ \circ $B可约. 则有满足ξ₁₂=ξ₂₃=…=ξ_n－1，n=ξ_n，1=1，且其余元素ξ_ij=0的置换阵D=(ξ_ij)，当正数ε充分小时，A+εD和B+εD非负不可约. 将A，B替换为A+εD，B+εD，同情况1的讨论，结论成立.

下面比较定理1和定理2的优越性. 不失一般性，当i≠j时，假设有

即

则

因此

所以

例1   令非负矩阵

应用文献[8-15]中ρ(A$ \circ $B)的相关定理分别得

而应用所给定理1，得

应用定理2，得

定理3    设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈M_n，则

证    当n=1时，结论明显成立. 当n≥2时，分以下两种情况讨论：

情况1    若A★B不可约. 则A和B也不可约. 依据引理1，当$i \in \mathbb{N}$时，有

由于0≤τ(A★B)≤a_iib_ii，则

情况2   若A★B可约. 因为Z_n中的矩阵满足主子式皆为正时为M-矩阵^[19]，则有满足ξ₁₂=ξ₂₃=…=ξ_n－1，n= ξ_n，1=1，且其余元素ξ_ij=0的置换阵D=(ξ_ij)，当正数ε充分小时，A－εD和B－εD为M-矩阵且不可约. 将A，B替换为A－εD，B－εD，同情况1的讨论，结论成立.

定理4   设A=(a_ij)，B=(b_ij)∈M_n，则

证   当n=1时，结论明显成立. 当n≥2时，分以下两种情况讨论：

情况1    若A★B不可约. 则A和B也不可约. 令τ(A★B)=λ，依据引理2，存在(i，j)，1≤i，j≤n，i≠j，有

由于0≤τ(A★B)≤a_iib_ii，则

情况2    若A★B可约. 因为Z_n中的矩阵满足主子式皆为正时为M-矩阵^[19]，则有满足ξ₁₂=ξ₂₃=…=ξ_n－1，n=ξ_n，1=1，且其余元素ξ_ij=0的置换阵D=(ξ_ij)，当正数ε充分小时，A－εD和B－εD为M-矩阵且不可约. 将A，B替换为A－εD，B－εD，同情况1的讨论，结论成立.

下面比较定理3和定理4的优越性. 不失一般性，当i≠j时，假设有

即

则

因此

所以

例2    令M-矩阵

应用文献[8-14, 16]中τ(A★B)的相关定理分别得

而应用本文定理3得

应用定理4得