假设独立同分布的随机变量序列{X_n：n≥1}服从GLD(μ，σ，α)分布，令

表示该序列的局部最大值.通过构建分布的尾部表达式，本节将证明GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的分布收敛到Λ极值类型分布.

定理1 设F(x)和f(x)分别表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数和概率密度函数.当x＞0充分大时，有

其中规范化常数为

即GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的极限分布是Λ极值类型分布.

证 当x＞0充分大时，GLD(μ，σ，α)分布的尾部表达式可表示为

其中

辅助函数g(t)=σ，并且有g^′(t)= 0，因此根据文献[14]中命题1.1与命题1.4，我们可以选择如下形式的规范化常数a_n和b_n：

那么此时有

可得F属于Λ吸引场，记为F∈D(Λ)，Λ(x)=exp(-e^-x)为Gumbel极值类型分布.规范化常数a_n和b_n满足(2)式.结合(1)式与(2)式，可得

计算可得a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ.定理1证毕.

已知GLD(μ，σ，α)分布的规范化最大值的极限分布为Λ分布，本节将推导该分布的规范化最大值分布的渐近展开式.

定理2 设F(x)表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数，规范化常数a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ.则当n→∞时，有

其中k(x)和w(x)分别为

和

注1 定理2给出了规范化最大值分布Fⁿ(a_nx+b_n)的渐近展开式.由(3)式可知，在线性赋范规范化常数下，Fⁿ(a_nx+b_n)收敛到Λ(x)的收敛速度Fⁿ(a_nx+b_n)-Λ(x)是与$\frac{1}{n}$同阶的，该速度与文献[13]中证明的两参数广义Logistic分布的收敛速度是相同的.

为了证明定理2，我们首先给出一个辅助引理.

引理1 设F(x)表示三参数Ⅰ型广义Logistic分布GLD(μ，σ，α)的累积分布函数，令

且有规范化常数

则有

证 当n→∞时，Fⁿ(a_nx+b_n)→Λ(x)，可得nlog F(a_nx+b_n)→-e^-x.由泰勒展开式，有

因此当n→∞时，有n(1-F(a_nx+b_n))→e^-x成立.规范化常数a_n=σ和b_n=σ(log n+log α)+μ，结合尾部表达式(1)式可得

结合(4)式和(5)式，有

再结合(4)，(5)，(6)式，有

定理2的证明 由$\mathop {\rm lim}\limits_{n \to \infty } nh(x) = \frac{1}{{2\alpha }}{{\rm e}^{ - 2x}}$，可得$\mathop {\rm lim}\limits_{n \to \infty } h(x) = 0$.通过泰勒展开式可知，当n→∞时，有

结合引理1和(7)式，当n→∞时，有

综上所述，定理2证毕.