Backward Compact Random Attractors for Non-Autonomous Stochastic p-Laplacian-Type Lattice Equation

定义1   设(Ω，$\mathscr{F}$，P)是一个概率空间，θ={θ_t}_t∈ℝ：ℝ×Ω→Ω是一簇($\mathscr{B}$(ℝ)×$\mathscr{F}$，$\mathscr{F}$)保测映射，使得θ_t(0，·)是Ω上的恒等映射，且满足

则称(Ω，$\mathscr{F}$，P，θ)是一个度量动力系统.

定义2  令(Ω，$\mathscr{F}$，P，θ)是度量动力系统，若存在映射Φ：ℝ₊×ℝ×Ω×X→X，使得对任意ω∈Ω，τ∈ℝ及t，s∈ℝ₊，满足：

(ⅰ) Φ(·，τ，·，·)：ℝ₊×Ω×X→X是(B(ℝ₊)×$\mathscr{F}$×B(X)，B(X))可测的；

(ⅱ) Φ(0，τ，ω，·)是X上的恒等映射；

(ⅲ) Φ(t+s，τ，ω，·)=Φ(t，τ+s，θ_sω，·)$\circ $Φ(s，τ，ω，·)；

(ⅳ) Φ(t，τ，ω，·)：X→X是连续的.

则称映射Φ是关于(Ω，$\mathscr{F}$，P，θ)的非自治动力系统，也称协循环.

定义3  设$\mathscr{D}$={$\mathscr{D}$(t，ω)}是X中的集合，若对∀x∈X，τ∈ℝ，函数f：ω→d(x，$\mathscr{D}$(t，ω))是($\mathscr{F}$，$\mathscr{B}$(ℝ₊))可测的，则称D为随机集.

定义4  令$\mathscr{B}$是X的所有有界非空子集族构成的集合，假设集合

若对任意的τ∈ℝ，ω∈Ω，D∈$\mathscr{B}$，存在T=T(τ，ω，D)＞0，使得当t≥T时有

则称$\mathscr{K}$为Φ的$\mathscr{B}$-拉回吸收集.

本文将在l²空间上讨论带有乘法噪音的非自治随机p-Laplacian格点方程

其中$\mathbb{Z}$代表整数集，λ，α＞0，p＞2，W(t)是双边实值Wiener过程，$\circ $代表Stratonovich积分意义下的乘法噪音. 对于外力项$f{{\left( {{f}_{i}} \right)}_{i\in \mathbb{Z}}}$和非自治项$g{{\left( {{g}_{i}} \right)}_{i\in \mathbb{Z}}}$有如下假设：

(F1) f_i∈C¹(ℝ)，$\underset{i\in \mathbb{Z}}\sup\limits\, \left| f_{i}^{\prime }(u) \right|$局部有界，且f_i满足

(F2) g∈L_loc²(ℝ，l²)，且满足

定义l²上的有界算子：

因此，根据算子的定义，有

微分方程(1)可整理为

下面证明方程(6)能生成随机动力系统.

做变量替换v(t)=e^-αz(θ_tω)u(t). 其中u(t)是方程(6)的解，$z\left( {{\theta }_{t}}\omega \right)=-\int_{-\infty }^{0}{{{\text{e}}^{r}}}{{\theta }_{t}}\omega (r)\text{d}r$是方程dz+zdt=dω(t)的解. 由文献[9-10]可知，对任意ω∈Ω，z(θ_tω)关于t连续，且满足

因此方程(6)可转化为关于v的随机微分方程

由文献[8]可知，对任意T＞0，v₀∈l²，ω∈Ω，方程(8)存在唯一的解v(·，τ，ω，v₀)∈C([τ，+∞)，l²)，且依赖初值v₀连续. 因此方程(8)在(Ω，$\mathscr{F}$，P，{θ_t}_t∈ℝ)上能生成一个连续的随机动力系统{Φ(t)}_t≥0，即对v₀∈l²，t≥0，τ∈ℝ，和ω∈Ω，有

在下文中，设${{\mathbb{D}}_{0}}$是X中所有缓增集构成的集合，$\mathbb{D}$是X中所有后向缓增集构成的集合. 若集合$\mathscr{D}_{0}$满足

则称集合$\mathscr{D}_{0}$为缓增集；若集合$\mathscr{D}$满足

则称集合$\mathscr{D}$为后向缓增集.

假设集合${{\mathbb{D}}_{0}}$与$\mathbb{D}$是包含封闭的. 若集合$\mathbb{D}$满足$\mathscr{A}$⊂${\tilde{\mathscr{A}}}$且${\tilde{\mathscr{A}}}$∈$\mathbb{D}$，有${\tilde{\mathscr{A}}}$∈$\mathbb{D}$成立，则称集合$\mathbb{D}$是包含封闭的.

引理1  若假设(F1)，(F2)成立，那么有：

(ⅰ) 对任意缓增集${{\mathscr{D}}_{0}}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$，任意的τ∈$\mathbb{R}$，ω∈Ω，v_τ-t∈${{\mathscr{D}}_{0}}$(τ-t，θ_-tω)，存在T₀=T₀(${{\mathscr{D}}_{0}}$，τ，ω)≥1，使得

其中R₀(τ，ω)是可测函数，定义为

(ⅱ) 对任意后向缓增集${\tilde{\mathscr{D}}}$∈$\mathbb{D}$，任意的τ∈ℝ，ω∈Ω，v_s-t∈${\tilde{\mathscr{D}}}$(s-t，θ_-tω)，存在T=T(${\tilde{\mathscr{D}}}$，τ，ω)≥1，使得

其中

证   对任意固定的τ∈ℝ，ω∈Ω，v_s-t∈D(s-t，θ_-tω)，令v(r)=v(r，s-t，θ_-sω，v_s-t)，其中s≤τ. v(r)与方程(8)作内积可得

利用(2)，(5)式整理(15)式，可得

利用Hölder不等式及Young不等式，有

代入(16)式可得

对(18)式利用Gronwall不等式，计算可得

再由(7)式、(9)式可知，存在T₀(${{\mathscr{D}}_{0}}$，s，ω)≥1，使得当t≥T₀时，有

因此(11)式得证.

对(19)式关于s∈(-∞，τ]取上确界，由于v_s-t∈$\mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)(s≤τ)，结合(7)式、(10)式可知，存在T=T(s，ω，$\mathscr{D}$)≥1，使得当t≥T时，有

因此可以得到

即(13)式得证.

引理2  若假设(F1)，(F2)成立，则有如下结论：

(ⅰ) 协循环{Φ(t)}_t≥0存在${{\mathbb{D}}_{0}}$-拉回随机吸收集${{\mathscr{k}}_{0}}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$，其中

(ⅱ) 协循环{Φ(t)}_t≥0存在$\mathbb{D}$-拉回后向一致吸收集$\mathscr{K}$∈$\mathbb{D}$，其中

证  由(11)式可知${{\mathscr{k}}_{0}}$是吸收集. 又因为函数ω→R₀是随机变量的积分，因此R₀(τ，ω)是可测的，进而可知${{\mathscr{k}}_{0}}$也是可测的. 下证${{\mathscr{k}}_{0}}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$.

首先证明R(τ，ω)是有限的. 根据(7)式可知，对任意ε＞0，存在C=C(ε，ω)＞0，使得

因此，在(25)式中令$\varepsilon <\frac{\lambda }{4\alpha }$，结合(3)式可得

再证$\mathscr{K}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$. 令${{\alpha }_{1}}=\min \left\{ \lambda , \frac{\gamma }{2} \right\}$，在(25)式中令$\varepsilon =\frac{{{\alpha }_{1}}}{4\alpha }$，结合(3)式可知，对任意的γ∈ℝ，有

所以$\mathscr{K}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$. 又由于${\mathscr{K}}_{0}$⊂$\mathscr{K}$，因此${\mathscr{K}}_{0}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$.

最后证明$\mathscr{K}$∈$\mathbb{D}$. 根据(24)式，易知集合$\mathscr{K}$是递增的，即

因此，结合$\mathscr{K}$∈${{\mathbb{D}}_{0}}$可知，对任意γ＞0，有

即证得$\mathscr{K}$∈$\mathbb{D}$. 再由(13)式可知，$\mathscr{K}$在任意集合$\mathscr{D}$∈$\mathbb{D}$上是后向一致吸收的.

引理3  若假设(F1)，(F2)成立，则对∀ε＞0，(τ，ω，$\mathscr{D}$)∈($\mathbb{R}$×Ω×$\mathbb{D}$)，v_s-t∈$\mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)，存在T(ε，τ，ω，$\mathscr{D}$)＞0，N(ε，τ，ω，$\mathscr{D}$)≥1，使得

证  构造光滑函数ρ，满足0≤ρ≤1，且当|s|≤1时，ρ=0；当|s|≥2时，ρ=1. 并假设存在常数c₀，使得对任意s∈ℝ，有|ρ^′(s)|≤c₀. 令N是一个固定的整数，设

x与(8)式作内积可得

其中

由于|ρ^′(s)|≤c₀，因此

故由(29)式、(30)式可得

由假设(F1)可知

由Young不等式可知

结合(31)-(33)式，可得

对(34)式运用Gronwall引理，计算整理可得

由于v_s-t∈$\mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)(s≤τ)，结合(7)，(10)式可得

在(25)式中令$\varepsilon <\min \left\{ \frac{\lambda }{2\alpha (p-2)}, \frac{\lambda }{4\alpha } \right\}$，由引理1与假设(F2)可知，存在T＞0，当t＞T时，有

因此，结合(36)-(38)式可得，对任意的ε＞0，(τ，ω，$\mathscr{D}$)∈($\mathbb{R}$×Ω×$\mathbb{D}$)，v_s-t∈$\mathscr{D}$(s-t，θ_-tω)，存在T(ε，τ，ω，$\mathscr{D}$)＞0，N(ε，τ，ω，$\mathscr{D}$)≥1，使得

引理4  若假设(F1)，(F2)成立，则协循环{Φ(t)}_t≥0在吸收集$\mathscr{K}$∈$\mathscr{D}$上是后向渐近紧的.

证  对任意固定的τ∈ℝ，ω∈Ω，取任意序列{τ_k}≤τ，{t_k}→+∞(k→+∞)，及任意的v₀∈K(τ_k-t_k，θ_-tkω). 定义v_k=Φ(t_k，τ_k-t_k，θ_-tkω，v₀)=v(τ_k，τ_k-t_k，θ_-τkω，v₀)，下证{v_k：k∈N}在l²中是预紧的.

由引理1可知{v_k}在l²中有界，故存在${\tilde{v}}$∈l²，使得

下面只需证明该弱收敛实际上是强收敛，即只需证明：

对任意ε＞0，存在T＞0和K≥1，使得当k＞K时，有

注意到

一方面，由引理3可知，对任意ε＞0，存在T₁＞0，N₁，K₁≥1，使得当k＞K₁时，有

另一方面，由于在l²中，有v_k⇀${\tilde{v}}$，因此，当|i|≤N时，在ℝ^2N+1中有v_k→${\tilde{v}}$. 故对任意ε＞0，存在T₂＞0，N₂，K₂≥1，使得当k＞K₂时，有

由(42)-(44)式可知，令

则对任意ε＞0，存在T≥T和K≥K，使得当k＞K时，有

即证得协循环{Φ(t)}_t≥0在吸收集K上是后向渐近紧的.

定理1  若假设(F1)，(F2)成立，则方程(1)生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证  引理2和引理4的结论满足了文献[11]的定理3.9中拉回吸引子的存在性条件，因此方程(8)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧$\mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A}$∈$\mathscr{D}$，和唯一的可测${{\mathscr{D}}_{0}}$-拉回吸引子${{\mathscr{A}}_{0}}$∈${{\mathscr{D}}_{0}}$. 再由文献[9]的定理6.1知$\mathscr{A}$=${{\mathscr{A}}_{0}}$，故吸引子$\mathscr{A}$也是随机的，即Φ(t)存在唯一的后向紧$\mathscr{D}$-拉回随机吸引子$\mathscr{A}$∈$\mathscr{D}$. 再由文献[12-13]知方程(1)与方程(8)生成的随机动力系统共轭，进而可知方程(1)存在后向紧随机吸引子.